Risolto il problema matematico della ”lotteria infinita”


PER comprendere il funzionamento della lotteria non occorre un dottorato in matematica. Tutto è semplice e lineare: si compra un biglietto, si confrontano i numeri stampati con quelli vincitori, ci si rassegna e si continua a fare la solita vita. O, in rarissimi casi, si esulta. Supponete però di avere un biglietto di dimensioni infinite, che contenga cioè tutte le possibili sequenze di numeri: in questo caso la vittoria sarebbe assicurata, dal momento che la sequenza vincente sarebbe certamente contenuta nel biglietto in vostro possesso (che certamente vi sarebbe costato più della vincita, quindi comunque il gioco non varrebbe la candela). Fin qui tutto pacifico.

Complichiamo ancora un po’ lo scenario: supponiamo che anche la sequenza di numeri vincenti sia infinita, e che vengano estratti infiniti numeri vincenti. La domanda a questo punto è: esiste ancora un biglietto in grado di garantire sempre la vittoria? La risposta è tutt’altro che semplice: a trovarla, cinquant’anni dopo la formulazione del problema, sono stati due matematici della University of Copenhagen, che ne danno contezza sulle pagine dei Proceedings of the National Academy of Sciences. Ed è un secco ”no”.

“Per trent’anni nessuno si è interessato al problema della lotteria infinita”, ha spiegato Adrian R.D. Mathias, il matematico britannico che per primo si è posto la questione, “poi improvvisamente diversi gruppi di scienziati hanno iniziato a lavorarci. Sono molto soddisfatto di vedere che oggi qualcuno è riuscito a risolverlo”. Gli autori del lavoro – David Schrittesser e Asger Törnquist – hanno cominciato ad attaccare il ”problema della lotteria infinita” nel 2015: ci sono voluti quattro anni di calcoli, prove ed errori per arrivare a una conclusione. I due ricercatori, in particolare, si sono approcciati alla questione usando concetti della cosiddetta teoria di Ramsey, una branca della matematica che si occupa di rispondere a domande del tipo “quanti elementi di una data struttura devono esistere per garantire che una particolare proprietà della struttura stessa sia valida”.

Un esempio classico è il cosiddetto problema della piccionaia: supponendo di avere n piccioni in m piccionaie, quanto grande deve essere n affinché almeno una piccionaia contenga almeno due uccelli? In questo caso semplice, la risposta è ovviamente che devono esserci più piccioni che piccionaie, ossia n>m: la teoria di Ramsey studia come generalizzare problemi come questo.

Torniamo al problema di partenza: Schrittesser e Törnquist hanno mostrato che nel caso della lotteria infinita gli infiniti numeri vincenti tendono a “raggrupparsi” in insiemi la cui struttura implica che non può esistere con certezza un biglietto – ancorché infinito – sempre vincente. Fortuna che lotto, superenalotto e simili sono finiti.


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Carlo Verdelli
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